＜ラングランズ・プログラム＞
ロバート・ラングランズ
数論・幾何学・解析学(関数など)の関連づけ
ラングランズ・プログラムと量子物理学のつながり
＜素粒子＞
ヒッグス粒子←大型ハドロン衝突型加速器LHC
1960sに加速器でたくさんの粒子が発見
対称性の理論で群によってハドロンを分類しクォークの存在を予測
＜クォーク＞
分数の電荷を持つ
u アップ
d ダウン
s ストレンジ
c チャーム
t トップ
b ボトム
陽子 uud
中性子 udd
＜群：SU (3)とは＞
SO(3) special orthogonal group in 3 dimensions 3次の特殊直交群
SU(3) special unitary group in 3 dimensions 3次の特殊ユニタリ群
複素数（2乗すると-1）で表される3次元空間 〜ハドロンに関係
＜ハドロンの分類＞
ハドロンは強い力で結びついた粒子。陽子、中性子、その他
図示すると（ex. 8個のハドロン）SU(3)のウエイトダイヤグラムと同様
＜標準理論＞
重力以外の力を説明する理論
4つの力
重力
電磁気力
弱い力：放射性元素を崩壊させる力
強い力：クォーク間に働く力
1つの統一理論（地平線のようなもの）に近づく
＜スーパーストリング理論＞
＜ゲージ理論＞
3つの力はゲージ理論でまとめられる
常に対称性の群と結びついている
電磁気力はU(1)という円の群
弱い力 SU(2) 2次元
強い力 SO(3) 3次元 球の回転
＜電磁双対性＞
異なるゲージ理論の間につながりがある
単純な例：電磁気力 マックスウェル方程式
電場と磁場のふるまい（偏微分方程式）〜対称性：電場と磁場が対になっている
＜ラングランズ双対群＞
ex. 数論〜調和解析をつなぐ
＜ある対称性の群は何と対になっているか＞
電磁気力：U(1) → U(1) 同じ群
弱い力：SU(2) →
強い力：S0(3) → SU(2)
コップのトリック
SO(3) 3次元空間の回転：360度回転すると元に戻る
（回転→ねじれ→径路をたどるとねじれがとれて元に戻る）
SU(2) ：720度回転すると元に戻る
＜なぜラングランズ双対群が物理学に現れるのか？＞
数理物理学
数学と量子物理学がつながっている
エドワード・ウィッテン（京都賞）
マトリョーシカ 入れ子
＜実数と複素数＞
ある3次方程式の問題で、素数pを法とする解の個数を求めるとき
解は、実数でも、複素数でも求めることができる
＜幾何学と数論のつながり＞
素数で解を求めると→数論(調和解析の関数であるモジュラー形式の係数であらわされる
複素数で解を求めると→幾何学の図形（ex.トーラス）
＜幾何学と量子物理学＞
数学では、対称性の群を無限に考えることができる
物理学では、自然界で成立するものに限定される
数学の理論は物理学の発見に先立っている
ex. クォークの観測
隠された実在としての数学
