素粒子

ディラック方程式（ポール・ディラック）

・シュレディンガーの波動方程式で電子のエネルギーなどを計算できる
・電子は回転する
・物理法則は数学的に美しくなければならない by ディラック
・対称性：回転対称性、並進対称性、ローレンツ対称性（時間＝空間・本質が同じ）
・波動方程式にはローレンツ対称性がない
・ディラック方程式では電子のスピンと磁力が説明できる。クォーク、ニュートリノも説明できる。

電磁気力

・ゲージ対称性も含む4つの対称性をもつ
・力を伝達する粒子
・オッペンハイマー
・朝永振一郎：量子場の理論（無限大を取り除く）、ファインマン、シュウィンガー
・電磁気力の数式

強い核力と弱い核力（チェンニン・ヤン）

・ゲージ対称性を発展させる
・非可換ゲージ対称性（ヤン）
・光子の質量は0というのは知られていた
・ヤンの方程式ではすべての素粒子の質量が0になる
　　　力を伝える粒子、クォーク、電子、ニュートリノなど

自発的対称性の破れ（南部陽一郎）

・質量０になる矛盾を解決する現象
・強い核力からクォークの重さが生まれる

ヒッグス粒子

・強い核力からクォークの重さが生まれる
・質量を与える粒子を理論に組み込む
　　真空を埋め尽くし宇宙にひろがっている（ヒッグス場）
・ワインバーグ
・電子がヒッグス場を運動するとヒッグス粒子に阻まれることで質量が生れる
・2012年CERNでそれらしいボゾン

ニュートリノ振動（梶田隆章）

・ニュートリノに質量があることを示した

＜ニュートリノ＞
・ビッグバンで生まれ、今でも太陽や超新星爆発で大量生成されて、光に近い速度で動いている
・宇宙のどんな場所でも、ニュートリノ300個/cm3が含まれている
・電気的に中性、他の物質とはほとんど反応しない
・小さいため原子の間を通り抜ける。地球を突き抜ける。
・カミオカンデ（超純水をニュートリノが通過、まれに水の原子核に衝突し、チェレンコフ光を放つ。高感度のセンサーである光電子増倍管で計測）
・ニュートリノの種類、飛んで来た方向がわかる
　　　電子ニュートリノ、μニュートリノ、τニュートリノ
・宇宙線が大気の原子核に衝突すると、ニュートリノがつくられる
・カミオカンデの観測では地球の裏側からくるμニュートリノが非常に少ない

＜ニュートリノ振動＞
・ニュートリノのタイプが変わる
・μ→τ→μ
・ニュートリノは3つの波でできている 。合成波の振幅の大小によって性質が決まる。
・振動＝うねり

＜ニュートリノの質量＞
・質量によって波長が異なる
・質量が0ならば同じ波長になり、合成されても振動がおこらない
・1998年に発表
・標準理論ではニュートリノの質量は0

ひも理論・M理論

超ひも理論 -1（ブライアン・グリーン）

・統一理論：宇宙の物理現象を集約した1つの方程式
・ひも理論：宇宙は1種類の要素、振動するエネルギーの糸からなる

＜ニュートン＞
・重力：リンゴが落ちる力＝惑星が軌道を描く力＝潮の満ち引き（天と地を統一）
・重力はどのように働くか？

＜アインシュタイン＞
・論文：光速を超えるものはこの宇宙に存在しない
・ニュートンの法則(重力）と矛盾
　　　重力は即座に伝わる（ニュートン）
　　　太陽が消滅すると、惑星は軌道から外れて飛び出す
　　　光は、太陽から地球まで約8分かかる
　　　重力は光速より遅いのではないか？ （アインシュタイン）
・一般相対性理論
　　　重力を表している 
　　　3次元空間＋1次元の時間＝4次元の時空〜トランポリンのような織物
　　　時空の表面は重力でゆがむ
・電磁気力
　　　マックスウェル（電気と磁気を電磁気力に統一）
　　　電気の放電により磁場ができる
・重力と＋電磁気力を統一する試み（アインシュタイン）
　　　電磁気力＞重力
　　　ビルから落ちても歩道を突き破って地球を通過しないのは、電磁気力による
　　　原子の外側がマイナスに帯電している→人体と歩道の間で各々の電子が反発し合う
　　　原子1個のレベルでは重力は弱い

＜量子力学＞
・原子は素粒子からなる
・原子の内部をいかに記述するか？
・宇宙は秩序正しく予測可能（アインシュタイン）
　vs 確率による（運任せのゲーム、偶然）（ボーア）
・原子のレベルを解き明かした
・2つの力
　　　強い力：陽子＋中性子をつなぎ原子核をつくる力
　　　弱い力 ：中性子を陽子に変化させる力、変化時に放射線を出す
　　　　　　　　　原子核を分裂させてエネルギーを放出させる（原子爆弾）
 　　  小さな範囲で大きな作用

＜統一理論＞
・重力と量子力学（強い力・弱い力・電磁気力）の統合
・1950sに統一は下火になる。
・物理学は、一般相対論による宇宙の研究と量子力学に分かれる。
・ブラックホールの理論（シュヴァルツシルト）
・ブラックホールの点を記述するには、相対論＋量子論の統一が必要
・ひも理論で統一できるが、実験による証明はできない

・並行宇宙
・1000の可能性があれば、そのすべてが起こる

超ひも理論-2（ブライアン・グリーン）

・天体の大きなスケール、時空は平面状の織物
・量子の小さなスケールでは、時空は無秩序、でこぼこ。
　　　時空のねじれ。ゆらぎ、不安定。
　　　左右、上下、 時間の前後の概念もない。
　　　確実なものはひとつもない。

＜ひも理論＞
・実験・観測の域を超えている　　　
・ヴェネチアーノ（200年前のオイラーの関数が強い力を表している）1968年
・サスキンド
　　　オイラーの関数は、強い力を説明しているが何らかの粒子を説明している
　　　単なる点粒子ではない、内部構造を持ち、振動し、伸縮し、動く
　　　ゴムのヒモのようなもの、輪ゴムか、半分に切ったもの
　　　論文は却下される

＜ゲージ粒子＞
・点としての粒子が続々と発見された
・粒子は互いに各々の力をキャッチボール（伝達）する
　　　力：ゲージ粒子
　　　電磁気力：フォトン（光のエネルギー粒子）やりとり回数が増えると強くなる

＜ビッグバン直後に遡ると＞
・電弱力（電磁気力＋弱い力が一体化していた）
・電弱力＋強い力が一体化していた（バンの瞬間。まだ証明されていないが）
・標準モデル（グラショウとワインバーグ）3つの力を説明
・重力は？

＜初期のひも理論の問題＞
・タキオンという光より速い粒子
・ 10次元
・質量0の粒子
・数学的矛盾
・1973年シュワルツ〜ひも理論の方程式は重力を表している
　　　ひものサイズを見直し
　　　グラヴィトン（量子レベルで重力を伝達する質量0の粒子）
・論文：量子レベルでの重力を説明
・ マイケル・グリーン、シュワルツ
・1980s：アノマリー（数学的につじつまが合わない）
　　　2つの方程式の解が一致しない
・1984年
　　　アノマリーを計算すると、計算値はすべて同じ値となった（496）
　　　ひもは4つの力を統一できる　　

＜新しいひも理論＞
・エネルギーの糸
・ひものサイズは、原子を太陽系サイズにしたとき、1本の樹と同じサイズ
・ひもは振動パターンによって質量や電荷などを決める
・小さ過ぎて実験・観測できない

＜高次元の空間＞
・数学者カルツァがもう1つの次元があると唱えた　1919年
・重力は4次元の時空に生じるゆがみ、さざ波
・カルツァは電磁気力もさざなみと考え、電磁力が起こる場＝隠された次元。
・オスカークライン
　　　1次元に見えるワイヤーケーブル〜拡大してみると線ではなく丸まっている
　　　巻き上げられた次元 、原子1個の数十億分の1のサイズ（目に見えない）

＜余剰次元＞　
・楽器のホルン（小さく巻き上げられた形はホルンにたとえられる）
・余剰次元は複雑に絡み合っている
・その形が振動のパターンを決めている
・物理学の基本定数＝約20個
・6次元の形は、ひもの振動パターンを決定する。
　　　　振動パターンによって、フォトン、電子を生む。
・次元の形が宇宙の定数を決定している

＜問題点＞
・ひも理論のバージョンが5つ（1985あたり）
・輪ゴム、ループ状、26次元のバージョンも

超ひも理論-3（ブライアン・グリーン）

＜時空＞
・宇宙の時空はゆがんだり伸縮する
・ワームホール ：離れた空間同士をつなげるトンネル
・時空に穴はあくのか？
・量子のスケールでは、時空に裂け目があっても、ひもが裂け目を保護する
　　　ひも理論では時空が裂ける
・膜宇宙
・並行宇宙

＜ひも理論＞
・ひもの振動→さまざまな粒子
・5つの理論、共通点があるが、数学的な細部は違う

＜M理論＞
・1995年、エドワード・ウィッテンが提唱
・新しい視点でみると、同じものを5通りの方法で見ている
・M理論以前は、ひも理論では10次元（余剰6次元）がある
・M理論は、11次元

＜次元の概念＞
・映画：スクリーンは2次元
・次元はどちらに動けるかという方向性に関係している。自由度
・次元が増えると自由度が上がる
・M次元に存在する物体＝膜、メンブレーン、ブレーン
・より高い次元に広がっていて、エネルギーを与えると巨大に広がる
・高い次元の空間の内部に膜がある。
・われわれの宇宙＝パンの1切れ。他の宇宙＝並行宇宙
・すぐ隣の高い次元には行けない

＜重力＞
・重力に逆らうことは簡単にできる
・電磁気力は重力より大きい
・ひも理論では、重力が弱くみえるだけで、強い
・ビリヤード台で、音波が拡散するように、重力も宇宙の外へ拡散する。
・パンにのったジャムはパンから落ちないが、重力は砂糖のようなものでパンから落ちる
・ひもの形
　　　M理論のひもは、両端があり、膜に結びついている。
　　　重力のグラビトンは、リング状に閉じたひもで、膜に結びつかない。
・重力波は、われわれの次元を離れることができる

＜平行宇宙＞
・ビッグバンは時空を拡大し、宇宙が誕生
・ビッグバンにさかのぼると高密度すぎて計算が成立しない
・ビッグバンの爆発についての説明がない
・はじまりの瞬間はわからない

＜膜宇宙＞
・宇宙はビッグバン以前から存在していたという理論
・ビッグバンは2つの膜が衝突して発生（平行宇宙同士が衝突）
・衝突とビッグバンが永遠に繰り返される
・問題は、膜が衝突して何が起こるのかがわからない

＜フェルミ研究所とCERN＞
・加速器でグラヴィトンを観測
　　　水素原子から電子を取り、原子核を加速させ衝突させ、グラヴィトンを探す。
・超対称粒子
　　　電子、フォトン、グラヴィトンの超対称粒子

統一理論-1 

ブラックホールと宇宙の始まり　マトベイ・ブロンスタインの方程式

＜ブラックホール＞
ブラックホールの底はある1点に向かって沈み込んでいる
ブラックホールの数式（ある点の空間のゆがみDは底からの距離に比例）
距離が0の点では、ゆがみは無限大になる（分母が0）
一般相対論ではブラックホール底の点を説明できない

＜宇宙のはじまり＞
ビッグバンから10^43秒は現在、記述されている
ビッグバンの瞬間とブラックホール底の点は同じ理論で説明される
 　　ブラックホールの底は、極限まで圧縮された超ミクロの点

＜一般相対論と素粒子の数式を組み合せる＞
・ブロンスタインの式は、分母が0の無限大になる（無限大が無限個発生した）
・自然界の空間は、ミクロの目で見ると無限大をつくるブラックホールのようなもので満ちあふれているという考えにつながる

統一理論-2　超弦理論
ジョン・シュワルツとジョエル・シャーク、マイケル・グリーン

＜超弦理論＞
・論文：非ハドロン粒子の双対モデル（1974年）
・粒子が点であるとすると数式は成り立たないが、最小単位が超弦なら長さがゼロでないから成立する。
・数式が成立する条件：
　　　3次元空間＋時間＝4時間に対して、少なくとも10次元の宇宙
・なぜ10次元か？見えない次元はどこにあるのか？
　　　シャークは異次元の研究→仏教・瞑想
・宇宙が4次元という証明はない
・超弦理論の数式から一般相対性理論と素粒子の数式が導き出された
　　　n=496（完全数の1つ）

統一理論-3
余剰次元

＜余剰次元＞
・次元＝動くことができる座標の数
・余剰次元は超ミクロの世界に隠れている
・ブラックホール底1点ではどうやって熱が発生するのか？（ホーキングパラドックス）
・弦を集めると膜状になる（ポルチンスキー）糸が布になるイメージ
・ ブラックホールの底にも余剰次元があり、余剰次元で弦が動き熱を発生する
・2004年にホーキングも認める
・超弦理論の検証
・現在の数式では、11次元、10^500個の宇宙が存在しうる。

数学と物理のつながり

エドワード・フレンケル

＜ラングランズ・プログラム＞
ロバート・ラングランズ
数論・幾何学・解析学(関数など)の関連づけ
ラングランズ・プログラムと量子物理学のつながり

＜素粒子＞
ヒッグス粒子←大型ハドロン衝突型加速器LHC
1960sに加速器でたくさんの粒子が発見
対称性の理論で群によってハドロンを分類しクォークの存在を予測

＜クォーク＞
分数の電荷を持つ
u アップ
d ダウン
s ストレンジ
c チャーム
t トップ
b ボトム

陽子　uud
中性子 udd

＜群：SU (3)とは＞
SO(3)　special orthogonal group in 3 dimensions 3次の特殊直交群
SU(3)   special unitary group in 3 dimensions  3次の特殊ユニタリ群
　　複素数（2乗すると-1）で表される3次元空間 〜ハドロンに関係

＜ハドロンの分類＞
ハドロンは強い力で結びついた粒子。陽子、中性子、その他
図示すると（ex. 8個のハドロン）SU(3)のウエイトダイヤグラムと同様

＜標準理論＞
重力以外の力を説明する理論
4つの力
　重力
　電磁気力
　弱い力：放射性元素を崩壊させる力
　強い力：クォーク間に働く力
1つの統一理論（地平線のようなもの）に近づく

＜スーパーストリング理論＞

＜ゲージ理論＞
3つの力はゲージ理論でまとめられる
常に対称性の群と結びついている
電磁気力はU(1)という円の群
弱い力 SU(2) 2次元
強い力 SO(3) 3次元  球の回転

＜電磁双対性＞
異なるゲージ理論の間につながりがある
単純な例：電磁気力　マックスウェル方程式
　　電場と磁場のふるまい（偏微分方程式）〜対称性：電場と磁場が対になっている

＜ラングランズ双対群＞
ex. 数論〜調和解析をつなぐ

＜ある対称性の群は何と対になっているか＞           
電磁気力：U(1) → U(1)　同じ群
弱い力：SU(2) →
強い力：S0(3) → SU(2)

コップのトリック
　SO(3) 3次元空間の回転：360度回転すると元に戻る
　　（回転→ねじれ→径路をたどるとねじれがとれて元に戻る）
　SU(2) ：720度回転すると元に戻る

＜なぜラングランズ双対群が物理学に現れるのか？＞
数理物理学
数学と量子物理学がつながっている
エドワード・ウィッテン（京都賞）
マトリョーシカ 入れ子

＜実数と複素数＞
ある3次方程式の問題で、素数pを法とする解の個数を求めるとき
解は、実数でも、複素数でも求めることができる

＜幾何学と数論のつながり＞
素数で解を求めると→数論(調和解析の関数であるモジュラー形式の係数であらわされる
複素数で解を求めると→幾何学の図形（ex.トーラス）

＜幾何学と量子物理学＞
数学では、対称性の群を無限に考えることができる
物理学では、自然界で成立するものに限定される

数学の理論は物理学の発見に先立っている
ex. クォークの観測

隠された実在としての数学

物理学の考え方

宇宙物理学者　ローレンス・クラウス　　Lawrence Krauss
白熱教室

単純化して大雑把に捉える

＜太陽＞
・中心部のエネルギーた重力と均衡し球体を保っている
・圧力のエネルギー源は？
　　1000万度
　　核融合　毎秒数千億の水爆が爆発しているような状態
・ニュートリノ
　　毎秒1000億個のニュートリノが人間の身体を通り抜けている
　　昼間は上から、夜は地球をすり抜けて下から
　　観測では、太陽からくるニュートリノが理論予測値の1/3しかなかった
　   　　太陽から地球にくる間に性質が変わるため

＜数＞
・10の累乗にして、桁だけに注目（数のスケールである指数の部分が重要）
・すべての数を表す方程式 X= k ×10^n (n=1-10)
　　ex. 3412＝3.412 × 10^3
　　10^6 = ミリオン 
　　直感的に数の大きさを把握できる 
・フェルミ問題
　　Q 100万秒を数えるのにかかる時間は？を近似値で計算する
　　Q シカゴにピアノの調律師は何人いるか？
 　　　　　人口、世帯数、世帯数
　　　　　 調律師の仕事量（1台/日、1回/1年、100日/年 仕事する）

・シーザーの臨終の一息に吐いた息に含まれる原子のいくつかを毎回吸い込んでいる
　　 地球の大気の体積、1呼吸の量、大気に対する1呼吸の量
 　　水素1gに含まれる水素原子の数＝6 × 10^23 （アボガドロ数）

＜次元解析＞
・単位or次元　：L 長さ T 時間 , M 質量　この３つだけ
・速さ＝距離/時間という次元
・ばねについた重りの振動周期を表す公式
・3つの次元を1つにまとめる
　　　長さと時間を関係づける定数＝光速：長さを表すことができる
　　　質量はプランク定数を使えば、時間で表すことができる
・陽子と同じくらいの質量の粒子が新しくみつかれば、その粒子の生存期間がわかる

陽子の質量は、10^-24秒
質量が陽子の3倍の新しい素粒子　寿命10^-21秒 ：1000倍長生き
↓
強い力の重要な特徴を明らかにしノーベル賞受賞

　　

多元宇宙 Multiverse

多元的宇宙の謎（ブライアン・グリーン）

 

＜宇宙論＞

・天動説と地動説

・太陽系が存在する天の川銀河のほかに銀河は無数にある

＜マルチバースを支持する理論＞

・永遠のインフレーション（加速膨張）

　　　ビッグバン理論：ビッグバンの源と宇宙を膨張させるエネルギーは何か？ 

　　　斥力的重力（原子サイズの宇宙を銀河系の大きさに膨張させる力）

　　　宇宙背景放射（ビッグバンのなごり）を測定（温度分布と数式が一致）

　　　無数のビッグバン、無数の宇宙

・ダークエネルギー

　　　宇宙の膨張は加速している：銀河同士を離す力＝ダークエネルギー

　　　ダークエネルギーの観測に基づく計算値はとてつもなく小さい（理論値と異なる）

 　　  無数の宇宙は各々ダークエネルギー値が異なる

　　　われわれの宇宙は天体や生命が存在する条件に合致している

・弦理論　Superstring theory

　　　物質の最小単位＝弦（振動パターンによって性質が異なる） 

　　　弦理論の方程式：空間は3次元より多い（9次元。他のバリエーションもある）

　　　巻き上げられた次元（ワイヤーロープのようなしくみ）が存在する

　　　巻き上げられた次元パターンは天文学的な数(ex. 10の500乗個)が導き出された

　　　弦理論の解はこの天文学的な数は宇宙の数に対応し、

　　　各宇宙のダークエネルギー量が異なっている。

＜多元宇宙＞

・宇宙の構成要素は限られているから宇宙の数が無限なら似たような宇宙が存在する

＜説明できないことがある＞

・ダークエネルギーの値を説明する法則がない

・地球と太陽の距離（生命に適切な距離）

・自然の摂理

・多元宇宙論は観測や実験ができない 

The True Science of Parallel Universes

multiverses マルチバースのタイプ

・泡宇宙 bubble

・膜宇宙 membrane

・多世界 many worlds

・これらの組み合せ

量子論・量子力学

量子の力学　ブライアン・グリーン

＜量子力学＞
・量子レベル（原子や素粒子など）と古典力学の違い
・ニールス・ボーアの原子モデル：量子飛躍（電子が軌道を変える）
・2重スリット実験（干渉縞）：粒子と波（海の水と波）
・シュレディンガーの波動方程式（ボルンは電子が存在する確率であるとした）
・自然界は確率（偶然、あいまいさ）
・観測の影響（測定された瞬間に電子の位置が明らかになり、他の位置に存在する確率がなくなる）

・エンタングルメント（絡み合った2つの粒子は互いの距離が離れても一度できた関係が維持される）は、ボーア（観測で粒子の状態が決まる）vs アインシュタイン（手袋）の論争後、実験でボーアの説が証明された（遠隔作用）

・量子テレポーテーション：サイリンガー の実験（光子のペア＋3つ目の光子。元の光子が持っていた情報を抽出してあたらな光子を作る）

・量子コンピュータ：量子ビットは0と1の両方の性質をもつ（ビット：0,1）

・量子レベルであいまいなのが、物質のサイズが大きくなるとあいまいでなくなる理由は？
　　可能性は何らかの作用により消滅するという説
　　すべての可能性は消滅せず、別々のストーリーを展開するという説


シュレディンガーの猫